HM2_Formelsammlung

Formelsammlung

Aufgabe 1: Lineares Gleichungssystem \(Ax = b\)

1. Gleichungssystem lösen:
   • Matrix \(A\) und Vektor \(b\) gegeben: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ -3 & 2 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & 6 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \]
   • Lösung mittels Gauss-Elimination oder inverser Matrix \(x = A^{-1}b\).
2. Rang der Matrix \(A\):
   • Berechnung des Rangs durch Bestimmen der Anzahl der linearen unabhängigen Zeilen.
   • Anwendung des Gauss-Jordan-Verfahrens oder QR-Zerlegung.

Aufgabe 2: Gerade und Ebene im \(\mathbb{R}^3\)

1. Parameterdarstellung der Geraden \(g\):
   • Umformung der Koordinatendarstellung: \[ g: \frac{4-x_1}{2} = \frac{4+x_2}{3} = \frac{2-x_3}{2} \]
   • Auflösen nach einem Parameter \(t\) (z.B. \(x_1 = 4 - 2t\), \(x_2 = 4 + 3t\), \(x_3 = 2 - 2t\)).
2. Hesse-Normalform der Ebene \(E\):
   • Ebene durch Punkte (3,1,2), (-1,3,2), (5,-2,4):
   • Berechnung des Normalvektors \(\vec{n}\) durch Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren.
   • Hesse-Normalform: \[ \frac{\vec{n} \cdot \vec{x} - d}{\|\vec{n}\|} = 0 \]
   • \(d\) ist der Abstand des Ursprungs von der Ebene.
3. Schnittpunkt oder Abstand:
   • Lösen des LGS mit der Parameterdarstellung der Geraden und der Ebenengleichung.
   • Falls kein Schnittpunkt: Berechnung des Abstands mit Punkt-Ebene-Abstandsformel.

Aufgabe 3: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

1. Eigenwerte:
   • Bestimmung der Eigenwerte durch Lösen des charakteristischen Polynoms: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
   • Matrix \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 \end{pmatrix} \]
2. Eigenvektoren:
   • Für jeden Eigenwert \(\lambda\) Lösung des Gleichungssystems: \[ (A - \lambda I) \vec{v} = 0 \]
3. Darstellung der linearen Abbildung in Basis \(B\):
   • Matrix \(P\) der Eigenvektoren und diagonale Matrix \(D\): \[ D = P^{-1}AP \]

Aufgabe 4: Stationäre Punkte und Taylor-Polynom

1. Stationäre Punkte:
   • Bestimmung der partiellen Ableitungen und Lösung der Gleichungen \(\nabla f = 0\): \[ f(x, y) = (y^2 - x) \ln(x) \]
2. Lokale Extrema:
   • Berechnung der Hesse-Matrix und Anwendung des zweiten Ableitungstests.
3. Taylor-Polynom zweiten Grades:
   • Berechnung der Ableitungen bis zur zweiten Ordnung und Bildung des Taylor-Polynoms.

Aufgabe 5: Lagrange-Multiplikatoren und Ableitung

1. Lagrange-Multiplikatoren:
   • Bestimmung der Kandidaten für lokale Extrema: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda (g(x, y) - c) \]
2. Ableitung entlang der Kurve:
   • Berechnung der totalen Ableitung unter Berücksichtigung der Nebenbedingung.

Aufgabe 6: Integral über ein Kreissegment

Ausführliche Formelsammlung

Aufgabe 1: Lineares Gleichungssystem \(Ax = b\)

1. Lösung des Gleichungssystems:
   • Gegeben sind Matrix \(A\) und Vektor \(b\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ -3 & 2 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & 6 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \]
   • Um das Gleichungssystem \(Ax = b\) zu lösen, können folgende Methoden verwendet werden:
     • Gauss-Elimination: Transformiere \(A\) in die obere Dreiecksform und löse das resultierende System durch Rückwärtseinsetzen.
     • Inverse Matrix: Berechne die Inverse von \(A\) (sofern sie existiert) und löse \(x = A^{-1}b\).
2. Rang der Matrix \(A\):
   • Der Rang der Matrix \(A\) ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten).
   • Anwendung des Gauss-Jordan-Verfahrens:
     • Bringe \(A\) in Zeilenstufenform.
     • Zähle die Anzahl der nicht-nullen Zeilen.
   • Alternativ: Verwendung der QR-Zerlegung oder LU-Zerlegung zur Bestimmung des Rangs.

Aufgabe 2: Gerade und Ebene im \(\mathbb{R}^3\)

1. Parameterdarstellung der Geraden \(g\):
   • Gegebene Koordinatendarstellung: \[ g: \frac{4-x_1}{2} = \frac{4+x_2}{3} = \frac{2-x_3}{2} \]
   • Setze einen Parameter \(t\) und löse nach \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) auf: \[ x_1 = 4 - 2t, \quad x_2 = 4 + 3t, \quad x_3 = 2 - 2t \]
   • Parameterdarstellung: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \]
2. Hesse-Normalform der Ebene \(E\):
   • Ebene definiert durch Punkte (3,1,2), (-1,3,2), (5,-2,4):
   • Berechnung von zwei Richtungsvektoren: \[ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \]
   • Normalvektor: \[ \vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} \]
   • Normierung des Normalvektors: \[ \hat{n} = \frac{1}{\|\vec{n}\|} \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2}} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \]
   • Hesse-Normalform: \[ \frac{\vec{n} \cdot \vec{x} - d}{\|\vec{n}\|} = 0 \]
   • Berechnung von \(d\) mit einem Punkt (z.B. (3,1,2)): \[ d = \vec{n} \cdot \vec{p} = 4 \cdot 3 + 8 \cdot 1 + 8 \cdot 2 = 12 + 8 + 16 = 36 \]
   • Hesse-Normalform: \[ \frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 - 3 = 0 \]
3. Schnittpunkt oder Abstand:
   • Lösen des LGS: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \quad \text{in die Ebenengleichung einsetzen} \]
   • Falls kein Schnittpunkt, berechne den Abstand: \[ d = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{p} - d |}{\|\vec{n}\|} \]

Aufgabe 3: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

1. Eigenwerte:
   • Bestimmung der Eigenwerte durch Lösen des charakteristischen Polynoms: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
   • Für Matrix \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 \end{pmatrix} \]
   • Charakteristisches Polynom berechnen und Eigenwerte \(\lambda\) finden.
2. Eigenvektoren:
   • Für jeden Eigenwert \(\lambda\) das Gleichungssystem lösen: \[ (A - \lambda I) \vec{v} = 0 \]
3. Darstellung der linearen Abbildung in Basis \(B\):
   • Matrix \(P\) der Eigenvektoren: \[ P = [\vec{v}_1 \quad \vec{v}_2 \quad \vec{v}_3] \]
   • Diagonalmatrix \(D\): \[ D = P^{-1}AP \]

Aufgabe 4: Stationäre Punkte und Taylor-Polynom

1. Stationäre Punkte:
   • Berechnung der partiellen Ableitungen: \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}((y^2 - x) \ln(x)), \quad f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}((y^2 - x) \ln(x)) \]
   • Lösen der Gleichungen \(\nabla f = 0\) für \((x, y)\).
2. Lokale Extrema:
   • Berechnung der Hesse-Matrix: \[ H(f) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \]
   • Anwendung des zweiten Ableitungstests.
3. Taylor-Polynom zweiten Grades:
   • Taylor-Entwicklung um den Punkt \((x_0, y_0) = (1, 2)\): \[ T_2(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) + \frac{1}{2}(f_{xx}(x_0, y_0)(x - x_0)^2 + 2f_{xy}(x_0, y_0)(x - x_0)(y - y_0) + f_{yy}(x_0, y_0)(y - y_0)^2) \]

Aufgabe 5: Lagrange-Multiplikatoren und Ableitung

1. Lagrange-Multiplikatoren:
   • Gegeben: \[ f(x,y) = (3x + 2y)x, \quad g(x,y) = 2x^3 + 3x^2y - 40 = 0 \]
   • Lagrange-Funktion: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = (3x + 2y)x + \lambda (2x^3 + 3x^2y - 40) \]
   • Ableitungen: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \]
   • Gleichungssystem lösen.
2. Ableitung entlang der Kurve:
   • Implizite Funktion \(y(x)\) aus \(g(x, y) = 0\) ableiten: \[ \frac{d}{dx} f(x, y(x)) \]

Aufgabe 6: Integral über ein Kreissegment

Ausführliche Formelsammlung (Fortsetzung)

Aufgabe 1: Lineares Gleichungssystem \(Ax = b\) (Fortsetzung)

1. Lösung des Gleichungssystems:
   • Anwendung der Gauss-Elimination: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 0 & 1 & | & -1 \\ -3 & 2 & 1 & -2 & | & 1 \\ 4 & 1 & 6 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \]
     • Ziel ist es, die Matrix in obere Dreiecksform zu bringen und das Gleichungssystem durch Rückwärtseinsetzen zu lösen.
2. Berechnung des Rangs:
   • Rang der Matrix \(A\) durch Zeilenstufenform bestimmen: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6\\ 0 & -3 & -6 & -1 & | & -13 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 8 \end{pmatrix} \]
   • Da die dritte und vierte Zeile linear abhängig sind, hat die Matrix Rang 3.

Aufgabe 2: Gerade und Ebene im \(\mathbb{R}^3\) (Fortsetzung)

1. Schnittpunkt oder Abstand:
   • Setze die Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung ein und löse nach \(t\): \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \] \[ \hat{n} \cdot \vec{r}(t) = 3 \] \[ \frac{1}{3}(4 - 2t) + \frac{2}{3}(4 + 3t) + \frac{2}{3}(2 - 2t) = 3 \]
   • Falls kein Schnittpunkt, berechne den Abstand: \[ d = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{p} - d |}{\|\vec{n}\|} \]

Aufgabe 3: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix (Fortsetzung)

1. Eigenwerte und Eigenvektoren:
   • Charakteristisches Polynom: \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 & 3 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 4 & -2 - \lambda \end{vmatrix} \] \[ = (1 - \lambda)[(-\lambda)(-2 - \lambda) - 4] + 2[1(-2 - \lambda) - 4] + 3[1 \cdot 4 - 0] \]
   • Eigenwerte \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) durch Lösen der resultierenden Gleichung.
2. Eigenvektoren:
   • Für jeden Eigenwert \(\lambda\) das Gleichungssystem: \[ (A - \lambda I) \vec{v} = 0 \]

Aufgabe 4: Stationäre Punkte und Taylor-Polynom (Fortsetzung)

1. Berechnung der partiellen Ableitungen:
   • Partielle Ableitungen: \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}((y^2 - x) \ln(x)) = \frac{y^2 - x}{x} - \ln(x) \] \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}((y^2 - x) \ln(x)) = 2y \ln(x) \]
   • Stationäre Punkte durch Lösen von \(f_x = 0\) und \(f_y = 0\).
   • \[\frac{y^2 - x}{x} - \ln(x) = 0\]
   • \[2y \ln(x)=0\]
   • \[x=1, y=1\]
   • \[x=1, y=-1\]
   • \[x=1/e, y=0\]
2. Hesse-Matrix und zweiter Ableitungstest:
   • Hesse-Matrix: \[ H(f) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} \]
   • Zweiter Ableitungstest zur Bestimmung der Natur der stationären Punkte.
3. Taylor-Polynom zweiten Grades:
   • Taylor-Entwicklung um den Punkt \((x_0, y_0) = (1, 2)\): \[ T_2(x, y) = f(1, 2) + f_x(1, 2)(x - 1) + f_y(1, 2)(y - 2) + \frac{1}{2}(f_{xx}(1, 2)(x - 1)^2 + 2f_{xy}(1, 2)(x - 1)(y - 2) + f_{yy}(1, 2)(y - 2)^2) \]

Aufgabe 5: Lagrange-Multiplikatoren und Ableitung (Fortsetzung)

1. Lagrange-Multiplikatoren:
   • Gleichungen aufstellen und nach \(x\), \(y\) und \(\lambda\) lösen: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 6x + 2y + \lambda (6x^2 + 6xy) = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2x + \lambda (3x^2) = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2x^3 + 3x^2y - 40 = 0 \]
   • Berechnung der Determinante und auflösen nach \(y\):
     \[ \left|\begin{array}{} f_x & g_x \\\\ f_y & g_y \end{array}\right|=0 \]
   • Einsetzen in die Nebenbedinung liefert x-Werte
   • Einsetzen in \(y=..\) liefert y-Werte
2. Ableitung entlang der Kurve:
   • Implizite Ableitung \(y(x)\) aus der Nebenbedingung: \[ \frac{d}{dx} f(x, y(x)) = f_x(x, y) + f_y(x, y) \frac{dy}{dx} \]

Aufgabe 6: Integral über ein Kreissegment (Fortsetzung)

Ausführliche Formelsammlung (Fortsetzung)

Aufgabe 1: Lineares Gleichungssystem \(Ax = b\) (Fortsetzung)

1. Gauss-Elimination Beispiel:

   • Ausgangsmatrix: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 0 & 1 & | & -1 \\ -3 & 2 & 1 & -2 & | & 1 \\ 4 & 1 & 6 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \]

   • Ziel: Nullstellen unterhalb der ersten Spalte: \[ R2 \leftarrow R2 - 2R1: \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & -6 & -1 & | & -13 \\ -3 & 2 & 1 & -2 & | & 1 \\ 4 & 1 & 6 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \] \[ R3 \leftarrow R3 + 3R1: \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & -6 & -1 & | & -13 \\ 0 & 5 & 10 & 1 & | & 19 \\ 4 & 1 & 6 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \] \[ R4 \leftarrow R4 - 4R1: \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & -6 & -1 & | & -13 \\ 0 & 5 & 10 & 1 & | & 19 \\ 0 & -3 & -6 & -3 & | & -21 \end{pmatrix} \]

   • Diese 3 Operationen können auch in einem durchgeführt werden

   • Nullstellen unterhalb der zweiten Spalte: \[ R3 \leftarrow R3 + \frac{5}{3}R2: \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & -6 & -1 & | & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & | & 8 \\ 0 & -3 & -6 & -3 & | & -21 \end{pmatrix} \] \[ R4 \leftarrow R4 - R2: \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & -6 & -1 & | & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & -8 \end{pmatrix} \]

   • Diese 2 Operationen können auch in einem durchgeführt werden

   • Zurückwärtseinsetzen zur Bestimmung der Lösung \(x\): \[ x_4 = 4, \quad x_3 = x_3, \quad x_2 = 3-2x_3, \quad x_1 = -1-x_3 \] \[ x_4 = 4 \] \[ -3x_2-6x_3-4 = -13, \quad -3x_2-6x_3=-9, \quad x_2=3-2x_3 \] \[ x_1+(3-2x_3)+3x_3+4 = 6, \quad x_1 + 3x_3-2x_3=-1, \quad x_1+x_3=-1, \quad x_1=-1-x_3 \]

Aufgabe 2: Gerade und Ebene im \(\mathbb{R}^3\) (Fortsetzung)

1. Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene:
   • Setze die Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung ein: \[ \hat{n} \cdot \vec{r}(t) = 3 \] \[ \frac{1}{3}(4 - 2t) + \frac{2}{3}(4 + 3t) + \frac{2}{3}(2 - 2t) = 3 \] \[ \frac{4 - 2t + 8 + 6t + 4 - 4t}{3} = 3 \] \[ \frac{0 + 0t}{3} = 3 \] \[ 0 + 0t = 9 \]
   • Kein gültiger Wert von \(t\), daher kein Schnittpunkt.
2. Berechnung des Abstands:
   • Allgemeiner Abstand einer Geraden von einer Ebene: \[ d = \frac{|\hat{n} \cdot \vec{p} - d|}{\|\hat{n}\|} \] \[ d = \frac{| \frac{1}{3}4 + \frac{2}{3}(4) + \frac{2}{3}2 - 3 |}{\|\hat{n}\|} \] \[ d = \frac{| \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{4}{3} - 3 |}{\|\hat{n}\|} \] \[ d = \frac{| \frac{7}{3} |}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2}} \] \[ d = \frac{\frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}}} \] \[ d = \frac{\frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{9}{9}}} = \frac{\frac{7}{3}}{1} = \frac{7}{3} \]

Aufgabe 3: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix (Fortsetzung)

1. Berechnung des charakteristischen Polynoms:
   • Matrix \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 \end{pmatrix} \]
   • Charakteristisches Polynom: \[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)((-\lambda)(-2 - \lambda) - 4) - 2(1(-2 - \lambda) - 4) + 3(1 \cdot 4 - 0) \] \[ = (1 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda - 4) - 2(-2 - \lambda - 4) + 12 \] \[ = (1 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda - 4) + 2\lambda + 4 + 12 \] \[ = (1 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda - 4) + 2\lambda + 16 \]
2. Lösen des charakteristischen Polynoms:
   • Nullstellen des Polynoms geben die Eigenwerte \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\).
3. Eigenvektoren:
   • Für jeden Eigenwert \(\lambda\) das Gleichungssystem: \[ (A - \lambda I) \vec{v} = 0 \]
     • Beispielsweise für \(\lambda = 1\): \[ \begin{pmatrix} 1-1 & -2 & 3 \\ 1 & 0-1 & 1 \\ 0 & 4 & -2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = 0 \] \[ \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = 0 \]
   • Eigenvektoren bestimmen durch Lösen des Gleichungssystems.

Aufgabe 4: Stationäre Punkte und Taylor-Polynom (Fortsetzung)

1. Hesse-Matrix und zweiter Ableitungstest:
   • Berechnung der Hesse-Matrix: \[ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y^2 - x}{x} -\ln(x)\right) = \frac{-y^2 + x}{x^2} - \frac{2}{x} \] \[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^2 - x}{x} - \ln(x)\right) = \frac{2y}{x} \] \[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y \ln(x)) = 2\ln(x) \]
2. Stationäre Punkte überprüfen:
   • Natur der stationären Punkte bestimmen durch Einsetzen in die Hesse-Matrix: \[ H(f) = \begin{pmatrix} \frac{-y^2 + x}{x^2} - \frac{2}{x} & \frac{2y}{x} \\ \frac{2y}{x} & 2\ln(x) \end{pmatrix} \]
3. Taylor-Polynom zweiten Grades:

   • Taylor-Entwicklung um den Punkt \((x_0, y_0) = (1, 2)\): \[ f(1, 2) = 0, \quad f_x(1, 2) = 3, \quad f_y(1, 2) = 4\ln(1) = 0 \] \[ f_{xx}(1, 2) = -5, \quad f_{xy}(1, 2) = 4, \quad f_{yy}(1, 2) = 2\ln(1) = 0 \] \[ T_2(x, y) = 0 + 3(x - 1) + 0(y - 2) + \frac{1}{2}(-5(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 2)) \]

     \[ T_2(x, y) = 3(x - 1) - \frac{5}{2}(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 2)) \]

Aufgabe 5: Lagrange-Multiplikatoren und Ableitung (Fortsetzung)

1. Lagrange-Multiplikatoren:

• Gegeben: \[ f(x,y) = (3x + 2y)x, \quad g(x,y) = 2x^3 + 3x^2y - 40 = 0 \]

• Lagrange-Funktion: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = (3x + 2y)x + \lambda (2x^3 + 3x^2y - 40) \]

• nach \(x\), \(y\) und \(\lambda\) ableiten: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 6x + 2y + \lambda (6x^2 + 6xy) = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2x + \lambda (3x^2) = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2x^3 + 3x^2y - 40 = 0 \]

• System lösen, um Kandidaten für lokale Extrema zu finden (l eliminieren)

• Es genügt, die partiellen Ableitungen von \(f_x,f_y, g_x, g_y\) zu bilden:

• \[f_x=6x+2y,\quad f_y=2x\]

• \[g_x=6x^2+6y, \quad g_y=3x^2\]

• Berechne damit die Determinante \((f_x g_y - f_y g_x)=0\) und löse nach y auf.

• \[3x^2 (6x+2y) - 2x (6x^2 + 6xy) = 0\]

• ausklammern \(6x^2\):

• \[6x^2(x-y)=0\]

• Wird nur Null für \(y=x\)

• \(y=x\) einsetzen in NB:

• \[2x^3+3x^3-40=0 \rightarrow 5x^3-40=0 \rightarrow x^3=8 \rightarrow x=2\]

2. Ableitung entlang der Kurve:

   • Implizite Ableitung \(y(x)\) aus der Nebenbedingung: \[ g(x, y(x)) = 2x^3 + 3x^2y - 40 = 0 \] \[ \frac{d}{dx} f(x, y(x)) = f_x + f_y \frac{dy}{dx} \]
   • Berechne \(\frac{dy}{dx}\) durch totale Differentiation von \(g\): \[ \frac{dg}{dx} = 6x^2 + 6xy + 3x^2\frac{dy}{dx} = 0 \] \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{6x^2 + 6xy}{3x^2} \] \[ \frac{dy}{dx} = -2 - 2y \]

Aufgabe 6: Integral über ein Kreissegment (Fortsetzung)

HM2 Easy Instructions:

Aufgabe 1:

• Dreiecksmatrix erzeugen mit 6 Zeilenop.
• Nullzeile ist Rangverlust, liefert Geradengleichung oder Ebenengleichung in Parameterform
• Rückeinsetzen oder Gauss-Jordan

Aufgabe 2:

• Es gibt keine Koordinatendarstellung (=implizit) einer Gerade in 3D
• hier: Umwandlung Koordinatendarstellung einer Gerade in Parameterform durch Einführung gemeinsamer Parameter
• Umwandlung 3 Koordinaten in Hesse-Normalform (Kreuzprodukt für Normale, durch Länge normieren)
• Schnittpunkt oder Abstand berechnen

Aufgabe 3:

• Eigenwerte aus charakter. Polynom (macht Matrix singulär, bzw. erzeugt Rangverlust)
• Eigenvektoren mit Kreuzprodukt, einsetzen oder Gauss (3. Eigenwert kann als Normalenvektor aus zwei ersten gebildet werden)
• diagonalisieren durch Falkschema mit der Inversen (manchmal einfach transponieren möglich)
• Inverse mit Gauss oder Adjunkte finden

Aufgabe 4:

• partielle Ableitungen für Jacobimatrix, weitere drei für Hesse-Matrix

Aufgabe 5:

• berechne die partiellen Ableitungen
• löse die Determinantengleichung für y
• setze y in die Nebenbedingung ein für x
• implizit: \(\frac{dy}{dx}=-\frac{g_x}{g_y}\)
• \(\frac{df}{dx}=f_x+f_y*\frac{dy}{dx}\) #### Aufgabe 6:
• Polarkoordinaten

Hier ist der kompakte Python-Code mit sympy, der alle Aufgaben löst: https://live.sympy.org

import sympy as sp

# Aufgabe 1
A = sp.Matrix([
    [1, 1, 3, 1],
    [2, -1, 0, 1],
    [-3, 2, 1, -2],
    [4, 1, 6, 1]
])
b = sp.Matrix([6, -1, 1, 3])
x = A.LUsolve(b)
rank_A = A.rank()

# Aufgabe 2
t = sp.symbols('t')
g = sp.Matrix([4 - 2*t, 4 + 3*t, 2 - 2*t])
p1 = sp.Matrix([3, 1, 2])
p2 = sp.Matrix([-1, 3, 2])
p3 = sp.Matrix([5, -2, 4])
normal_vector = (p2 - p1).cross(p3 - p1)
plane_eq = normal_vector.dot(sp.Matrix([sp.symbols('x1'), sp.symbols('x2'), sp.symbols('x3')]) - p1)
distance = sp.Abs(plane_eq.subs({sp.symbols('x1'): g[0], sp.symbols('x2'): g[1], sp.symbols('x3'): g[2]})) / sp.sqrt(normal_vector.dot(normal_vector))

# Aufgabe 3
A2 = sp.Matrix([
    [1, -2, 3],
    [1, 0, 1],
    [0, 4, -2]
])
eigenvals = A2.eigenvals()
eigenvects = A2.eigenvects()
P, D = A2.diagonalize()

# Aufgabe 4
x, y = sp.symbols('x y')
f = (y**2 - x) * sp.ln(x)
stationary_points = sp.solve([sp.diff(f, x), sp.diff(f, y)], (x, y))
hessian = sp.hessian(f, (x, y))
taylor_poly = f.series(x, 1, 3).removeO().series(y, 2, 3).removeO()

# Aufgabe 5
x, y, l = sp.symbols('x y l', real = True)
f5 = (3*x + 2*y)*x
g5 = 2*x**3 + 3*x**2*y - 40
L = sp.Lambda((x, y, l), f5 + l * g5)
grad_L = [sp.diff(L(x, y, l), var) for var in (x, y, l)]
lagrange_sol = sp.solve(grad_L, (x, y, l))
dy_dx = -sp.diff(g5, x) / sp.diff(g5, y)
df_dx = sp.diff(f5, x) + sp.diff(f5, y) * dy_dx

# Aufgabe 6
r, theta = sp.symbols('r theta')
x_polar = 2 + r * sp.cos(theta)
y_polar = r * sp.sin(theta)
f6_polar = (2 * y_polar / x_polar) * r
integral_result = sp.integrate(f6_polar, (r, 0, 2), (theta, 0, sp.pi))

# Ergebnisse ausgeben
(x, rank_A, g, normal_vector, distance, eigenvals, eigenvects, stationary_points, hessian, taylor_poly, lagrange_sol, df_dx, integral_result)