Exam Questions

HM3 Exam Questions

Aufgabe 1 (10 Punkte)

a) Lösen Sie das Anfangswertproblem
\[ x' = t\,x^2 + t,\quad x(0)=0, \] Hinweis: \(\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}\).

b) Betrachten Sie die Differentialgleichung \[ 2tx^3-2t+3t^2x^2x'=0,\quad x(1)=0. \] (i) Zeigen Sie, dass die DGL exakt ist.
(ii) Geben Sie eine Funktion \(\Phi=\Phi(t,x)\) an, so dass \(\Phi_t(t,x)+\Phi_x(t,x)\dot x=0\).
(iii) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems an. Gegen welchen Wert konvergiert die Lösung für \(t \rightarrow \infty\).

Aufgabe 2 (10 Punkte)

Gegeben ist das lineare System \[ \dot x=\begin{pmatrix}3 & -1\\5 & -1\end{pmatrix}x. \] a) Geben Sie ein reelles Fundamentalsystem an.
b) Geben Sie die allgemeine reelle Lösung des Anfangswertproblems \(\dot x=Ax+b\) mit
\[ b=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \] an.

Aufgabe 3 (10 Punkte)

Gegeben sei die partielle Differentialgleichung \[ 2u_t-u_{xx}=0, \] mit \(x\in[0,\pi]\) und \(t>0\).

a) Klassifizieren Sie die Differentialgleichung (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch).
b) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Fouriereihe der ungeraden periodisch fortgesetzten Funktion
\[ f(x)=1\quad \text{für } x\in [0,\pi]. \]
c) Bestimmen Sie für alle \(k\in\mathbb{N}\) eine Lösung der PDE mit der Anfangsbedingung \[ u(0,x)=\sin(kx)\quad (x\in[0,\pi]), \] die die Randbedingungen \(u(t,0)=u(t,\pi)=0,\;t>0\) erfüllt.

Aufgabe 4 (10 Punkte)

Gegeben sei das parameterabhängige Vektorfeld \[ F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad F=\begin{pmatrix} x\frac{y^3}{3}\\x^2\Bigl(z^2+\frac{y^2}{2}\Bigr)-\alpha x^2z^2\\(1-\alpha)2x^2yz+z^2 \end{pmatrix}, \] und der Weg \[ \gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^3,\quad \gamma(t)=\begin{pmatrix}1-t^2\\t^2\\t\end{pmatrix}. \] a) Bestimmen Sie alle \(\alpha\in\mathbb{R}\), sodass \(F\) ein Potential besitzt.
b) Geben Sie für \(\alpha=1\) ein Potential an.
c) Berechnen Sie für \(\alpha=1\) das Kurvenintegral 2. Art von \(F\) entlang \(\gamma\).

Aufgabe 5 (10 Punkte)

Es sei \[ \gamma(u)=(e^u-1,0,u)^T,\quad u\in[0,1], \] ein planarer Weg in der x‑z-Ebene. Mit \(A\) bezeichnen wir die Rotationsfläche, die entsteht, wenn \(\gamma\) um die z‑Achse rotiert wird.

Gegeben sei außerdem das Vektorfeld \[ F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x+y\\y-x\\2 \end{pmatrix}. \] a) Geben Sie eine Parametrisierung \(f(u,v)\) der Fläche \(A\) an.
b) Bestimmen Sie Tangentialvektoren und den Normalenvektor an \(A\).
c) Bestimmen Sie das Oberflächenintegral 2. Art \(\int_A F\cdot dn\).

Aufgabe 6 (10 Punkte)

Es sei \[ K=\{(x,y,z)^T\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq4,\; y\geq0,\; z\geq0 \] das Kugelsegment und \(\partial K\) die Vereinigung aller Oberflächen des Segments.
Weiterhin sei \[ F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x-y\\x+y\\z+xy \end{pmatrix}. \] a) Parametrisieren Sie das Volumen in Kugelkoordinaten.
b) Berechnen Sie den Fluss \(\int_{\partial K}F\cdot n\,dS\), wobei \(n\) die nach außen gerichtete Normale ist.
c) Berechnen Sie \(\int_{\partial K}\operatorname{rot}(F)\cdot n\,dS\).
d) Berechnen Sie mit dem Satz von Stokes das Integral \(\int_{\partial K\setminus B}rot F\cdot n\,dS\), wobei \(B\) der Boden des Kugelsegments in der (x‑y)-Ebene ist.