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HM1

Aufgabe 1

HM1

**Aufgabe 1 (7 Punkte).**

Bestimmen Sie alle $x \in ℝ $ für die die Reihe

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^n} {(x-1)^n}$$

konvergiert.

Aufgabe 2

**Aufgabe 2 (14 Punkte).** Gegeben sei die Funktion

$$f(x)=\frac{1}{x^2(x-3)}$$

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von $f$ an. Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema (inklusive Klassifizierung und Funktionswert), Monotonieverhalten und Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Skizzieren Sie die Funktion auf dem Intervall $[-2,5]$.

Aufgabe 3

**Aufgabe 3 (5+5 Punkte).**
a) Stellen Sie

$$\frac{(\sqrt{2} + i \sqrt{2})^3}{(2 e^{i \pi/3})^6}$$


in Polarform dar.

b) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

$$ z^6 - (\sqrt2 + \sqrt2 i) z^2 = 0 $$

Geben Sie die Lösungen dabei in Polarform an.

Aufgabe 4

**Aufgabe 4 (6+4 Punkte)**

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung der Funktion

$$ g(x)=x^2ln (x) $$

im Entwicklungspunkt $x=e$

b) Schätzen Sie mit Hilfe der Restgliedformel den Fehler auf dem Intervall $[e,2e]$ ab.

Aufgabe 5

**Aufgabe 5 (7+2 Punkte).**

Gegeben sei die Funktion

$$h(x)=\frac{x^2+4x-3}{x^3-3x-2}. $$

a) Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von $h(x)$.

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von $h(x)$.

Aufgabe 6

**Aufgabe 6 (4+6 Punkte).**

a) Berechnen Sie den Grenzwert

$$\lim_{y->1}\sqrt{1-y^2}ln(\sqrt{1-y^2}). $$

b) Berechnen Sie für $y\in (0,1)$ das Integral

$$ I(y)=\int_0^yln(\sqrt{1-x^2})\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx .$$

*Hinweis: Für $x>0$ gilt: $xln(x)'=ln(x)$*

HM2

Aufgabe 1

HM2

**Aufgabe 1 (8 Punkte)**

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem  ***Ax=b*** mit der Koeffizientenmatrix und der rechten Seite

$$
A=
\begin{pmatrix}
   1&1& 3& 1\\
   2& -1& 0& 1&\\
   -3& 2& 1& -2&\\
   4& 1& 6& 1&
\end{pmatrix}
$$

$$
b=
\begin{pmatrix}
   6\\
   -1\\
   1\\
   3
\end{pmatrix}
$$

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems. Wie ist der Rang der Matrix ***A***?

Aufgabe 2

**Aufgabe 2 (7+3 Punkte)**

Im dreidimensionalen Raum $R3$ seien eine Gerade in Koordinatendarstellung

$g: \frac{4-x_1}{2}=\frac{4+x_2}{3}=\frac{2-x_3}{2}$

sowie eine Ebene E durch die drei Punkte (3,1,2), (-1,3,2), (5,-2,4).

a) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden $g$ und die Hesse-Normalform der Ebene $E$ an.

b) Entscheiden Sie ob die Gerade $g$ und die Ebene $E$ sich in einem Punkt schneiden.

- Wenn ja, berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.

- Wenn nein, berechnen Sie denAbstand der Geraden von der Ebene.

Aufgabe 3

**Aufgabe 3 (8 + 3 Punkte)**

Gegeben sei die Matrix

$$
A=
\begin{pmatrix}
   1& -2& 3\\
   1& 0& 1&\\
   0& 4& -2&
\end{pmatrix}
$$

a) Berechnen Sie alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren von $A$.

b) Drücken Sie die lineare Abbildung $y=Ax$ in einer Basis $B$ aus, die durch die Eigenvektoren von $A$ gebildet wird.

Aufgabe 4

**Aufgabe 4 (4+4+3 Punkte)**
Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=(y^2-x)ln(x)$ mit $x>0$ und $y\in ℝ$.

a) Berechnen Sie alle stationären Punkte von $f$.

b) Überprüfen Sie, bei welchen stationären Punkten es sich um lokale Extrema handelt und geben Sie gegebenenfalls an, ob es sich jeweils um ein lokales Minimum oder Maximum handelt.

c) Bestimmen sie das Taylor-Polynom zweiten Grades von $f$ mit Entwicklungspunkt $(x_0, y_0)=(1,2)$.

Aufgabe 5

**Aufgabe 5 (7 + 3 Punkte)**

a) Bestimmen Sie mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren die Kandidaten für lokale Extrema der Funktion

$f(x,y)=(3x+2y)x$

unter der Nebenbedingung

$2x^3+3x^2y=40$

b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f$ entlang der implizit durch die Nebenbedingungen gegebenen Kurve $x \mapsto (x,(y(x))$.

Aufgabe 6

**Aufgabe 6 (10  Punkte)**

Berechnen Sie das Integral der Funktion $f(x,y)=2y/x$ über das Kreissegment $B$, das von der Kreislinie mit der Gleichung $(x-2)^2+y^2=4$ und der Geraden mit der Gleichung $x+2y=4$ begrenzt wird (siehe Abbildung 1).

HM3

Aufgabe 1

HM3:

**Aufgabe 1 (10 Punkte)**

a) Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ x'=tx^2+t\quad\text{ x(0)=0}$$
und geben Sie den maximalen Definitionsbereich an.

Hinweis $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$

b) Betrachten Sie die Differentialgleichung

$$2tx^3-2t+3t^2x^2x'=0,\quad x(1)=0$$
  (i) Zeigen Sie das die DGL exakt ist.

  (ii) Geben Sie eine Funktion $\Phi=\Phi(t,x)$ an, so dass $\Phi_t(t,x)+\Phi_x(t,x)\dot x=0$

  (iii) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems an. Gegen welchen Wert konvergiert die Lösung für $t \rightarrow \infty$.

Aufgabe 2

**Aufgabe 2 (10 Punkte)**
Gegeben ist das lineare System
$$ \dot x=\begin{pmatrix} 3&-1\\5&-1 \end{pmatrix}x$$

a) Geben Sie ein reelles Fundamentalsystem an.

b) Geben sie die allgemeine reelle Lösung des Anfangswertproblems $\dot x=Ax+b$ mit
$b=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

an.

Aufgabe 3

**Aufgabe 3 (10 Punkte)**
Gegeben sei die partielle Differentialgleichung
$$ 2u_t-u_{xx}=0$$
mit $x\in[0,\pi]$ und $t>0$

a) Klassifizieren Sie die Differentialgleichung. Verwenden Sie dazu die Begriffe elliptisch, parabolisch, hyperbolisch. Begründen Sie ihre Aussage.

b) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Fouriereihe der ungerade periodisch fortgesetzten Funktion
$$f(x)=1\quad  \text{für } x\in [0,\pi]$$.

c) Bestimmen Sie für alle $k\in ℕ $ eine Lösung der PDE mit der Anfangsbedingung

$$u(0,x)=sin(kx)\quad x\in[0,\pi]$$

die die Randbedingungen $u(t,0)=u(t,\pi)=0, t>0$ erfüllt.

Aufgabe 4

**Aufgabe 4 (10 Punkte)**

Gegeben seine das parameterabhängige Vektorfeld $F:ℝ^3\rightarrow ℝ^3$ und der Weg $\gamma: [0,1]\rightarrow ℝ$.

$F=\begin{pmatrix} x\frac{y^3}{3}\\x^2(z^2+\frac{y^2}{2})-\alpha x^2z^2\\(1-\alpha)2x^2yz+z^2 \end{pmatrix}$ und $\gamma(t)=\begin{pmatrix} 1-t^2\\ t^2\\ t\end{pmatrix}$

a) Bestimen Sie alle $\alpha\in ℝ$, so dass $F$ ein Potential besitzt. 4P

b) Geben Sie für $\alpha=1$ ein  Potential an. 4P

c) Berechnen Sie für $\alpha=1$ das Kurvenintegral 2. Art des Vektorfelds $F$ entlang $\gamma$. 2P

Aufgabe 5

**Aufgabe 5 (10 Punkte)**

Es sei $\gamma(u)=(e^u-1,0,u)^T$ mit $u\in[0,1]$ ein planarer Weg in der x-z-Ebene. Mit $A$ bezeichnen wir die Rotationsfläche, die entsteht, wenn $\gamma$ um die z-Achse  rotiert wird.

Gegeben sei außerdem das Vektorfeld

$$ F:ℝ^3\rightarrow ℝ^3, F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x+y\\ y-x \\2 \end{pmatrix} $$

a) Geben Sie eine Parametrisierung $f(u,v)$ der Fläche $A$ an. 3P

b) Bestimmen Sie Tangentialvektoren und Normenvektor an die Fläche $A$. 3P

c) Bestimmen Sie das Oberflächenintegral 2.Art $\int_AF\cdot dn$. 3P

Aufgabe 6

**Aufgabe 6 (10 Punkte)**

Es sei das Kugelsegment $K$ durch

$$ K=\left\{(x,y,z)^T\in ℝ^3:x^2+y^2+z^2\leq4, y\geq0, z\geq0\right\}$$

gegeben und $\partial K$ sei die Vereinigung aller Oberflächen des Kugelsegments.

Weiterhin sei das Vektorfeld $F:ℝ^3\rightarrow ℝ^3$ gegeben durch

$$F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x-y\\x+y \\z+xy \end{pmatrix}$$

a) Parametrisieren Sie das Volumen in Kugelkoordinaten.

b) Berechnen Sie den Fluss von $F$ durch $\partial K$, also $\int_{\partial K}F\cdot dn$, wobei die Normale $n$ nach außen zeigt.

c) Berechnen Sie  $\int_{\partial K}rot(F)\cdot dn$.

d) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Stokes das Integral $\int_{\partial K \text{\B}}rot F\cdot dn$, wobei $B$ der Boden des Kugelsegments in der ($x$-$y$)-Ebene ist.

HM4

Aufgabe 1

HM4
**Aufgabe 1 (10 Punkte)**
Gegeben ist die Matrix $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

a) Führen Sie zwei Iterationen des Vektoriterationsalgorithmus zur Approximation des betragsgrößten Eigenwertes von $A$ mit dem Startvektor $x_0=(1,1)^T$ durch.

b) Führen Sie zwei Iterationen des Vektoriterationsalgorithmus zur Approximation des betragskleinsten Eigenwertes von $A$ mit dem Startvektor $x_0=(1,-1)^T$ durch.

Aufgabe 2

**Aufgabe 2 (10 Punkte)**

Gegeben sind die Wertepaare

$$
\begin{array}{ccc}
i&0&1&2&3\\
\hline
x_i&-1&0&1&2\\
f_i&5&1&1&-1
\end{array}
$$

a) Berechnen Sie das Interpolationspolynom in der Newton-Basis

b) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom $p(x)$ in der Monom-Basis

c) Approximieren Sie den Wert der Nullstelle von $p(x)$ im Intervall $[1,2]$ mit zwei Schritten des Bisektionsverfahrens

d) Approximeren Sie das Integral $\int_{-1}^1 p(x) dx$ mit der Simpson-Regel, wobei $p(x)$ das Polynom aus Aufgabenteil b) ist.

Aufgabe 3

**Aufgabe 3 (10 Punkte)**

Gegeben seien die Messwerte

$$
\begin{array}{ccc}
x_i&-2&-1&0&1&2\\
\hline
f_i&0&0&0&-1&1
\end{array}
$$

a) Die Messwerte sollen durch ein Polynom 2.ter Ordnung approximiert werden. Stellen Sie das zugehörige lineare Ausgleichsproblem und die Normalengleichungen auf. 

b) Lösen Sie das Gleichungssystem $Ax=b$ mit 

$A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 34 \end{pmatrix}$,

$b=\begin{pmatrix} 0  \\ 1  \\ 3 \end{pmatrix}$

mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung.

Aufgabe 4

**Aufgabe 4 (10 Punkte)**

Gegeben sind die folgenden drei Wertepaare $t_1,y_1)=(-1,2)$, $t_2,y_2)=(0,1)$, $t_3,y_3)=(1,0)$ und die Funktion $y=f(x_1, x_2, t)=(t+x_2)^2x_1$.

a) Formulieren Sie ein nichtlineares Ausgleichsproblem, so dass die Funktion $f$ die Werte $y_i$ and den Stellen $t_i$ möglichst gut approximiert.

b) Berechnen Sie den ersten Schritt des Gauß-Newton-Verfahrens für das Ausgleichsproblem von a) mit dem Startwert $x_1,x_2=(1,1)^T. Liefert der berechnete Wert eine Verbesserung für das Ausgleichsproblem im Vergleich zum Startwert?