Karteikarten zur Vektoranalysis und Differentialgleichungen
Karteikarten
1. Anfangswertprobleme (AWP)
Frage: Definiere den Begriff “Anfangswertproblem” und nenne die Schritte zur Lösung.
Ein AWP besteht aus einer Differentialgleichung und einer Anfangsbedingung. Lösungsschritte: - Differentialgleichung lösen (z.B. durch Trennung der Variablen, Finden eines Potentials). - Allgemeine Lösung finden. - Anfangsbedingung nutzen, um die spezielle Lösung zu bestimmen.
2. Exakte Differentialgleichungen
Frage: Wie prüft man, ob eine Differentialgleichung exakt ist? Welche Formel ist dabei wichtig?
Eine DGL der Form \(M(t, x) + N(t, x)x' = 0\) ist exakt, wenn \[ \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial t} \] gilt.
3. Lösung exakter DGL
Frage: Wie findet man die Funktion \(\Phi(t,x)\) für eine exakte Differentialgleichung?
- \(M(t, x)\) nach \(t\) integrieren: \(\int M(t, x) dt\)
- \(N(t, x)\) nach \(x\) integrieren: \(\int N(t, x) dx\)
- Beide Ausdrücke kombinieren, um ein gemeinsames \(\Phi(t, x)\) zu erhalten, wobei doppelte Terme nur einmal berücksichtigt werden.
- Die allgemeine Lösung ist dann \(\Phi(t, x) = C\).
4. Lineare Systeme
Frage: Was ist ein Fundamentalsystem und wie bestimmt man die allgemeine reelle Lösung eines linearen Systems?
Ein Fundamentalsystem besteht aus linear unabhängigen Lösungen des homogenen Systems. Die allgemeine Lösung eines linearen Systems \(\dot{x} = Ax + b\) setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung des homogenen Systems \(\dot{x} = Ax\) und einer partikulären Lösung des inhomogenen Systems.
5. Partielle Differentialgleichungen (PDEs)
Frage: Wie klassifiziert man eine partielle Differentialgleichung (elliptisch, parabolisch, hyperbolisch)?
Die Klassifizierung hängt von den Koeffizienten der höchsten Ableitungen ab. (Diese Information ist in den Quellen nicht detailliert, daher müsstest du das in deinen Unterlagen nachschlagen). Beispiel aus der Quelle: \(2u_t - u_{xx} = 0\) ist eine parabolische PDE.
6. Fourierreihen
Frage: Wie bestimmt man die Koeffizienten der Fourierreihe einer Funktion?
Die Koeffizienten hängen von der Symmetrie der Funktion ab (gerade, ungerade, allgemein). Für eine ungerade Funktion \(f(x)\) gilt: \[ a_n = 0, \quad b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx \]
7. Lösen von PDEs mit Randbedingungen
Frage: Welche Schritte sind notwendig, um eine PDE mit gegebenen Anfangs- und Randbedingungen zu lösen?
- Separationsansatz verwenden (falls möglich).
- Allgemeine Lösung für jede Variable finden.
- Randbedingungen anwenden, um spezielle Lösungen zu finden.
- Anfangsbedingung nutzen, um die endgültige Lösung zu bestimmen.
8. Potential eines Vektorfeldes
Frage: Wie bestimmt man, ob ein Vektorfeld ein Potential besitzt, und wie findet man dieses Potential?
Ein Vektorfeld \(F\) besitzt ein Potential, wenn \(\operatorname{rot}(F) = 0\) gilt (d.h. die Rotation ist null). Das Potential \(\phi\) findet man durch Integration der Komponenten von \(F\).
9. Kurvenintegrale 2. Art
Frage: Wie berechnet man ein Kurvenintegral 2. Art?
\[ \int_\gamma F \cdot dr = \int_a^b F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt \] wobei \(\gamma(t)\) eine Parametrisierung des Weges \(\gamma\) ist.
10. Parametrisierung einer Fläche
Frage: Wie parametrisiert man eine Rotationsfläche?
Wenn \(\gamma(u) = (e^u - 1, 0, u)^T\) um die z-Achse rotiert, ist die Parametrisierung: \[ f(u, v) = ((e^u - 1)\cos(v), (e^u - 1)\sin(v), u)^T \]
11. Tangential- und Normalenvektoren
Frage: Wie bestimmt man Tangential- und Normalenvektoren an eine parametrisierte Fläche?
- Tangentialvektoren: Partielle Ableitungen der Parametrisierung \(f(u, v)\) nach \(u\) und \(v\): \(f_u\) und \(f_v\).
- Normalenvektor: Kreuzprodukt der Tangentialvektoren: \(n = f_u \times f_v\).
12. Oberflächenintegrale 2. Art
Frage: Wie berechnet man ein Oberflächenintegral 2. Art?
\[ \int_A F \cdot dS = \int_D F(f(u, v)) \cdot (f_u \times f_v) \, du \, dv \] wobei \(f(u, v)\) die Parametrisierung der Fläche \(A\) ist und \(D\) der Parameterbereich.
13. Kugelkoordinaten
Frage: Wie parametrisiert man ein Volumen in Kugelkoordinaten?
\[ x = r\sin(\theta)\cos(\phi), \quad y = r\sin(\theta)\sin(\phi), \quad z = r\cos(\theta) \] wobei \(r\) der Radius, \(\theta\) der Polarwinkel und \(\phi\) der Azimutalwinkel ist.
14. Flussberechnung
Frage: Wie berechnet man den Fluss eines Vektorfeldes durch eine Oberfläche?
\[ \int_{\partial K} F \cdot n \, dS \] wobei \(n\) der Normalenvektor auf der Oberfläche \(\partial K\) ist. Dies kann mit dem Divergenzsatz in ein Volumenintegral umgewandelt werden: \[ \int_K \operatorname{div}(F) \, dV \]
15. Satz von Stokes
Frage: Wie lautet der Satz von Stokes?
\[ \int_{\partial K} \operatorname{rot}(F) \cdot n \, dS = \oint_{\partial(\partial K)} F \cdot dr \] wobei \(\partial K\) die Oberfläche und \(\partial(\partial K)\) der Rand der Oberfläche ist.