HM3_Klausur_WS2425

Aufgabe 1)

**Aufgabe 1 (10 Punkte)**

a) Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ x'=(1-\alpha)t\frac{x^2}{t^3}\quad\text{ x(1)=\frac{2}{1-2\alpha}},\quad \alpha\in(0,\frac{1}{2}$$
und geben Sie den maximalen Definitionsbereich $t\in[1,T)$ der Lösung in Abhängigkeit von $\alpha$ an. Was passiert für $\alpha \to 0$?



b) Betrachten Sie die Differentialgleichung

$$2xe^{x^2-t}\dot x-e^{x^2-t}-1=0,\quad x(1)=1$$
  (i) Zeigen Sie das die DGL exakt ist.

  (ii) Geben Sie eine Funktion $\Phi=\Phi(t,x)$ an, so dass $\Phi_t(t,x)+\Phi_x(t,x)\dot x=0$

  (iii) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems an. 

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Aufgabe 2)

**Aufgabe 2 (10 Punkte)**
Gegeben ist das lineare System
$$ \dot x=\begin{pmatrix} -2&-5\\1&4 \end{pmatrix}x\quad \text{ und}\quad b(t)=4\begin{pmatrix} e^t\\0\end{pmatrix}$$

a) Geben Sie ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung an.

b) Geben sie die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems $\dot x=Ax+b(t)$ an.

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Aufgabe 3)

**Aufgabe 3 (10 Punkte)**
Gegeben sei die partielle Differentialgleichung
$$ u_{tt}-u_{xx}=0$$
mit $x\in[0,\pi]$ und $t>0$

a) Klassifizieren Sie die PDE mit den Begriffen elliptisch, parabolisch, hyperbolisch.

b) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Sinus-Fouriereihe der ungerade periodisch fortgesetzten Funktion
$$f(x)=1\quad  \text{für } x\in [0,\pi]$$.

c) Bestimmen Sie die Lösung der obigen PDE mit der Anfangsbedingung

$$u(0,x)=x\quad x\in[0,\pi],$$


$$u_t(0,x)=0\quad x\in[0,\pi],$$

und den Randbedingungen $u(t,0)=u(t,\pi)=0, t>0$.

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Aufgabe 4)

**Aufgabe 4 (10 Punkte)**

Gegeben seine die beiden Vektorfelder $F_k:ℝ^3\rightarrow ℝ^3$ mit $k=0,1$ und der Weg $\gamma: [0,1]\rightarrow ℝ^3$.

$F=\begin{pmatrix} z\cos(k(x+y))\\z\cos(k(x+y))\\\sin(k(x+y))+2z \end{pmatrix}$ und $\gamma(t)=\begin{pmatrix} \pi t\\\pi t\\ t^2\end{pmatrix}$

a) Bestimen Sie jeweils die Rotation von $F_0$ und $F_1$. 

b) Untersuchen Sie, ob die Vektorfelder $F_0$ und $F_1$ ein Potentialfeld sind und geben Sie gegebenenfalls ein Potential an. 

c) Berechnen Sie jeweils die Kurvenintegrale 2. Art der Vektorfelder $F_0$ und $F_1$ entlang $\gamma$.

Aufgabe 5)

**Aufgabe 5 (10 Punkte)**

Es sei $\gamma(u)=(e^u-1,0,\sqrt{u})^T$ mit $u\in[0,1]$ ein planarer Weg in der x-z-Ebene. Mit $A$ bezeichnen wir die Rotationsfläche, die entsteht, wenn $\gamma$ um die z-Achse  rotiert wird.

Gegeben sei ausserdem das Vektorfeld

$$ F:ℝ^3\rightarrow ℝ^3, F(x,y,z)=\begin{pmatrix} xz\\yz \\x^2+y^2 \end{pmatrix} $$

a) Geben Sie eine Parametrisierung $f(u,v)$ der Fläche $A$ an. 

b) Bestimmen Sie Tangentialvektoren und Normenalenvektor an die Fläche $A$ für $u>0$. 

c) Bestimmen Sie das Oberflächenintegral 2.Art $\int_AF\cdot dn$. 

Aufgabe 6)

**Aufgabe 6 (10 Punkte)**

Es sei die Kugel $K$ gegeben durch

$$ K=\left\{(x,y,z)^T\in ℝ^3:x^2+y^2+z^2\leq4 \right\}$$

und $S$ ihre Oberfläche.

Weiterhin sei das Vektorfeld $F:ℝ^3\rightarrow ℝ^3$ gegeben durch



$$F(x,y,z)=\begin{pmatrix} xz-y\\ yz+x \\xy+z \end{pmatrix}$$


b) Berechnen Sie den Fluss von $F$ durch die gesamte Kugeloberfläche $S$, also $\int_{\partial K}F\cdot dn$, wobei die Normale $n$ nach außen zeigt mit Hilfe des Satzes von Gauss.

c) Berechnen Sie  $\int_{S}rot(F)\cdot dn$.

d) Die Oberfläche $S$ wird durch die Ebenen $z=1$ und $z=-1$ in drei Teilflächen $S_O$, $S_M$ und $S_U$ unterteilt. Berechnen Sie die Integrale $\int_{S_O}rot(F)\cdot dn$ und $\int_{S_M}rot(F)\cdot dn$ mit Hilfe des Sates von Stokes.