Geometrische Algebra
Einführung
Die Geometrische Algebra (GA) ist eine Erweiterung der klassischen Vektorrechnung. Sie vereint Vektoren, komplexe Zahlen, Quaternionen und Matrizen in einem einheitlichen Rahmen.
Dadurch werden viele geometrische Operationen deutlich einfacher.
Grundidee
Das zentrale neue Konzept ist das geometrische Produkt zweier Vektoren \(a\) und \(b\):
\[ ab = a \cdot b + a \wedge b \]
- \(a \cdot b\): Skalarprodukt (Längen, Winkel)
- \(a \wedge b\): Äußeres Produkt (Flächen, Orientierung)
Multivektoren entstehen als Kombination: - Skalar (0D) - Vektor (1D) - Bivektor (2D) - Trivektor (3D)
Warum für Ingenieure?
- Mechanik/Robotik: Elegante Berechnung von Drehungen, Spiegelungen und Projektionen
- Elektrotechnik: Verallgemeinerung komplexer Zahlen und Quaternionen
- Computer Vision / CAD: Einheitliche Darstellung von 3D-Geometrien
Beispiel: 3D-Drehung
Eine Drehung kann in GA mit einem sogenannten Rotor ausgedrückt werden:
- Wähle eine Dreh-Ebene (Bivektor \(B\))
- Baue den Rotor: \[ R = e^{-B \theta / 2} \]
- Wende den Rotor auf einen Vektor \(v\) an: \[ v' = R v \tilde{R} \]
(\(\tilde{R}\) = Reverse von \(R\))
Software für GA
- Python: Pakete
clifford,galgebra - Julia: Pakete
grassmann - MATLAB: Clifford Toolbox
- Web: ganja.js (für schnelle Visualisierungen)
Spacetime Algebra
Spacetime Algebra und Spacetime Calculus ist eine Unteralgebra zu Geometric Algebra/Calculus für die Elektrodynamik. Wegen der Analogie zwischen den Feldtheorien Elektrodynamik mit den Maxwellgleichungen und der Strömungslehre mit den Navier-Stokes Gleichungen ist das relevant für Ingenieure.
Literatur & Ressourcen
- Doran & Lasenby: Geometric Algebra for Physicists
- Dorst, Fontijne & Mann: Geometric Algebra for Computer Science
- YouTube: Geometric Algebra Tutorial – Steven De Keninck
David Hestenes hat mit Einführung der Vektorableitung eine Geometrische Analysis entwickelt
Peter Joot zeigt wie die Geometrische Algebra exakte und angenäherte Lösungen von Gleichungen findet
Peter Joot: GA for Electrical Engineers ist eine ausführliche Einführung in die Grundlagen der GA, von Multivektoren, Integralsätzen und der Anwendung in der Elektrodynamik
SVD zeigt, dass auch für die Anwendung wichtige Matrixmethoden in GA formuliert werden können