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Die Höhere Mathematik dient zur Beschreibung Dynamischer Systeme.
HM1 dient zur Festigung der Grundlagen.
- Approximation benötigt Konvergenz.
HM2 behandelt Lineare Algebra und 2D Analysis.
Der Gauß-Algorithmus findet Lösungen für mehr als eine Gleichung als Matrixgleichung \(Ax=b\). Dies liefert eine exakte Lösung. Eine Schwester ist die Näherungslösung von Gleichungen in der Numerik, wichtig beim Modellieren von Datenpunkten.
Vektorräume und Abbildungen darin. Damit gelingt die Transformation ins Eigensystem einer Matrix, so dass die Abbildung einer reinen Streckung (Eigenwerte) entspricht. Die Anwendung ist bei Systemen von Differentialgleichungen, deren Lösung so ein Fundamentalsystem hat.
Eine 2D Taylorentwicklung liefert eine Approximation in mehr als einer Variable. Dies findet direkte Anwendung bei Optimierungen.
Die Lagrangemethode mit Nebenbedingungen ist so eine.
HM3 behandelt Vektoranalysis und DGLs und ist die Grundlage für die Theorie der Strömungsdynamik.
Differentialoperatoren und Integraltheoreme und
Differentialgleichungen mit mehr als einer Variablen, oft Ort und Zeit.
HM4 führt in numerische Methoden ein. Löse Gleichungssysteme durch Approximation. Finde eine beste Approximation zu Daten (Model).
Hier ist eine übersichtliche Tabelle, die die Unterschiede und Zusammenhänge zwischen Skalarfeldern und Vektorfeldern zusammenfasst:
| Eigenschaft | Skalarfeld \(u(x,t)\) oder \(\phi(x,y,z)\) | Vektorfeld \(\mathbf{F}(x,y,z)\) |
|---|---|---|
| Definition | Ordnet jedem Punkt eine skalare Größe zu (nur Wert, keine Richtung) | Ordnet jedem Punkt einen Vektor zu (Wert + Richtung) |
| Beispiele | Temperatur \(T(x,y,z)\), Druck \(p(x,y,z)\), elektrisches Potential \(\phi(x,y,z)\) | Kraftfeld \(\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)\), elektrisches Feld \(\mathbf{E}\), Strömungsgeschwindigkeit \(\mathbf{v}\) |
| Typische Gleichung | Wärmeleitungsgleichung \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u\) | Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen, Maxwell-Gleichungen für elektromagnetische Felder |
| Mathematische Operationen | Gradient (\(\nabla u\)) → erzeugt ein Vektorfeld aus einem Skalarfeld | Divergenz (\(\nabla \cdot \mathbf{F}\)), Rotation (\(\nabla \times \mathbf{F}\)) |
| Verwendung in der Physik | Beschreibt Zustandsgrößen wie Temperatur, Energie, Druck | Beschreibt physikalische Feldgrößen mit Richtung wie Kräfte, Strömungen, elektrische und magnetische Felder |
| Buchstabenherkunft | \(u\) historisch von Fourier für Temperatur, \(\phi\) für Potentiale | \(\mathbf{F}\) von „Force“ (Kraft) in der Mechanik |
Diese Unterscheidung verschwindet durch die Einführung von Multivektoren in der Geometrischen Algebra.
Geometrische Algebra vereint Lineare Algebra, Analysis und numerische Methoden in einem Formalismus.
Prüfungsaufgaben (Exam Questions), Kurzlösungen (Solutions) und Sympy code zu HM3.