HM Website
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Die Höhere Mathematik dient u.a. zur Beschreibung Dynamischer Systeme.
Übersicht der Inhalte HM1-4
HM1 dient zur Festigung der Grundlagen.
- Approximation benötigt den Konvergenzbegriff.
HM2 behandelt Lineare Algebra und 2D Analysis.
Der Gauß-Algorithmus findet Lösungen für mehr als eine Gleichung als Matrixgleichung \(Ax=b\). Dies liefert eine exakte Lösung. Eine Schwester ist die Näherungslösung von Gleichungen in der Numerik, wichtig beim Modellieren von Datenpunkten.
Vektorräume und Abbildungen darin. Damit gelingt die Transformation ins Eigensystem einer Matrix, so dass die Abbildung einer reinen Streckung (Eigenwerte) entspricht. Die Anwendung ist u.a. bei Systemen von Differentialgleichungen, deren Lösung so ein Fundamentalsystem hat.
Eine 2D Taylorentwicklung liefert eine Approximation in mehr als einer Variablen bzw. einem Vektorraum. Dies findet direkte Anwendung bei Optimierungen.
Die Lagrangemethode mit Nebenbedingungen ist so eine.
HM3 behandelt Vektoranalysis und DGLs und ist die Grundlage für die Theorie der Strömungsdynamik bzw. Elektrodynamik.
Differentialoperatoren und Integraltheoreme und
Differentialgleichungen mit mehr als einer Variablen, oft Ort und Zeit.
Systeme von Differentialgleichungen zur Beschreibung dynamischer Systeme.
HM4 führt in numerische Methoden ein. Löse Gleichungssysteme durch Approximation. Finde eine beste Approximation zu Daten (Model).
Hier ist eine übersichtliche Tabelle, die die Unterschiede und Zusammenhänge zwischen Skalarfeldern und Vektorfeldern zusammenfasst:
| Eigenschaft | Skalarfeld \(u(x,t)\) oder \(\phi(x,y,z)\) | Vektorfeld \(\mathbf{F}(x,y,z)\) |
|---|---|---|
| Definition | Ordnet jedem Punkt eine skalare Größe zu (nur Wert, keine Richtung) | Ordnet jedem Punkt einen Vektor zu (Wert + Richtung) |
| Beispiele | Temperatur \(T(x,y,z)\), Druck \(p(x,y,z)\), elektrisches Potential \(\phi(x,y,z)\) | Kraftfeld \(\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)\), elektrisches Feld \(\mathbf{E}\), Strömungsgeschwindigkeit \(\mathbf{v}\) |
| Typische Gleichung | Wärmeleitungsgleichung \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u\) | Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen, Maxwell-Gleichungen für elektromagnetische Felder |
| Mathematische Operationen | Gradient (\(\nabla u\)) → erzeugt ein Vektorfeld aus einem Skalarfeld | Divergenz (\(\nabla \cdot \mathbf{F}\)), Rotation (\(\nabla \times \mathbf{F}\)) |
| Verwendung in der Physik | Beschreibt Zustandsgrößen wie Temperatur, Energie, Druck | Beschreibt physikalische Feldgrößen mit Richtung wie Kräfte, Strömungen, elektrische und magnetische Felder |
| Buchstabenherkunft | \(u\) historisch von Fourier für Temperatur, \(\phi\) für Potentiale | \(\mathbf{F}\) von „Force“ (Kraft) in der Mechanik |
Geometrische Algebra
Diese Unterscheidung verschwindet durch die Einführung von Multivektoren in der Geometrischen Algebra.
Geometrische Algebra vereint Lineare Algebra, Analysis und numerische Methoden in einem Formalismus.
Wie man diese Webseite verwendet
- Latex Aufgabentexte in chatGPT als prompt einfügen, und Lösungen zusammenfassen oder expandieren und sympy code erzeugen
- Sympy code in colab ausführen um Ergebnisse zu überprüfen
- Latex Aufgabentext in colab einfügen. Gemini kann a) die Aufgabe in sympy lösen oder b) die Aufgabe lösen und das Ergebnis in einer Textzelle ablegen